観測方程式による水準網平均（Adjustment with derived observations)

前回引用した、田島・小牧共著「最小二乗法の理論とその応用」の後半部分にある「第11章　測量の分野における最小二乗法」から、観測方程式のみによる網平均の計算例を取り上げる。数式を見やすくするために、数式処理ソフトTheoristを使用し、処理の流れを見ることにする。

行列計算を式の通りに行い理論的理解に主眼をおいたので、最も効率的なプログラムというわけではない、と断り書きがしてある。

標高のわかっている既設点Ｐ0から出発し、新設点Ｐ1、Ｐ2・・・の標高を決定する。観測8路線、未知点5、条件数3（交点をもとめ差をもとめる）、路線距離、観測の比高（出発点と到達点の高低差）、近似標高から
測量した通りの「観測方程式」を作り、最小二乗法で解く１例。

見やすくするために、Mr.Boo氏の作成されたエクセルによる処理画面から、必要な情報を読み取れるように借用した。


aは計画行列の転置で、かけ算の順番の最初に来るので転置して入力した。その元の要素は観測方程式の各式を偏微分してえた結果で、該当する部分のみ、1か-1となり、他はすべて0となる。（テーラー展開の一次項で線形近似、AXからくる。両者はマトリクス。テーラー展開は素性のわからぬ関数を多項式で近似して、その輪郭を探るもの、という。「独習　微分積分学」　梶原譲二　現代数学社　1982）未知の補正量であるが、近似がよければ微小量ということで、より簡単なかたちに割り切る。


ｐは重み行列で、各路線の精度が路線距離に反比例するとされているので、各路線の観測の精度を統一するためになくてはならない。対角的に入れたのは、相互に無相関という前提で。計画行列と重みがきまれば後は公式どおりに行列計算だけで解が求められる。
tは本来の計画行列で、これは各最小二乗法での定法。左から順々に計算していく。Theoristでは、式をクリックして選択し、メニューから計算を選べば積が出力される。エクセルで手動で行っても可能だし、そのほうが、入力データの変更などはたやすいかもしれないが、要は好みと慣れでしょう。工夫一つでエクセルで大抵の統計処理は可能のようですが、・・・。エクセルも、Mac向けに当初開発されて、・・・一度、すべてのMacに採用するなどという話しもあったらしいが、アップルがこの約束を果たさなかった、という。



l は観測方程式の常数項を10,000倍して0.1ミリ単位であらわしたもの。

近似標高は、古い測量で求められていた成果値だという。今回新しく計り直して、経年変化を補正する。新設の水準点標高を求める場合は近似標高を0としても十分の精度で結果が得られる、という。（線形モデルのため）

ｎはいわゆる正規方程式。観測方程式から、最小二乗法の過程の偏微分を経て導出されるので、以後機械的に
というか公式そのもの。そして、ｎの逆行列を求め、観測方程式の常数項ベクトルに重みづけしたベクトルとかけ算をして、求めたかった推定値を得る。近似標高に、その推定値を加え、それぞれ
Ｐ1　17.148614
Ｐ2　2.858234
Ｐ3　5.577315
Ｐ4　1.948829
Ｐ5　3.302896
という結果になる。精度の算出は別の機会に。

Theoristでは、逆行列もa＾（-1）として入力しておけば、代入によりaの逆行列が表示されるので、後はメニューから計算を選べば、結果が得られる。梶原教授によれば、最もMac的なソフトで、式の代入も、将棋を指すかの様な、代入すべき式をマウスで押えたまま代入すべき場所に移し、マウスを離す、ドラッグ操作で済む、つまりWYSIWYG（What you see is what you get.)で、見ての通りの結果が得られる、呪文のタイプの必要は全くない、と紹介されていた。